三角形重心定理证明面积法(燕尾定理证明三角形重心)

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1、重心的性质及证明方法　　重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2、 　　三角形ABC，E、F是AB，AC的中点。

3、EC、FB交于G。

4、 　　过E作EH平行BF。

5、 　　AE=BE推出AH=HF=1/2AF 　　AF=CF 　　推出HF=1/2CF 　　推出EG=1/2CG 　　2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

6、 　　证明方法： 　　在▲ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOABOBCOC1分别为a、b、c边上的中线根据重心性质知，OA1=1/3AA1，OB1=1/3BB1，OC1=1/3CC1过O，A分别作a边上高h1，h可知h1=1/3h 则，S(▲BOC)=1/2×h1a=1/2×1/3ha=1/3S(▲ABC)；同理可证S(▲AOC)=1/3S(▲ABC)，S(▲AOB)=1/3S(▲ABC) 所以，S(▲BOC)=S(▲AOC)=S(▲AOB) 　　3、重心到三角形3个顶点距离的和最小。

7、 (等边三角形） 　　证明方法： 　　设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一点为（x，y） 则该点到三顶点距离和为： (x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-y)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2 　　=3x^2-2x(x1+x2+x3)+3y^2-2y(y1+y2+y3)+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2 　　=3(x-1/3*(x1+x2+x3))^2+3(y-1/3(y1+y2+y3))^2+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2 　　显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐标）时 　　上式取得最小值x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2 　　最终得出结论。

8、 　　4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均， 　　即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)； 　　空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（z1+z2+z3）/3 　　5、三角形内到三边距离之积最大的点。

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