雅克比行列式(雅克比行列式例题)
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1、 通常被称为雅可比。它基于n个变量的n个函数
2、 ui=ui(x1,x2,…,xn) (i=1,2,…n) (1)
3、 的偏导数是元素的行列式。
4、 通常记录为
5、 实际上,在(1)中所有函数连续可微(即所有偏导数连续)的前提下,J就是函数组(1)的微分形式。
6、 雅克比
7、 的系数矩阵(即雅可比矩阵)的行列式。
8、 如果因变量u1,u2,…,un对独立变量x1,x2,…,xn连续可微,并且独立变量x1,x2,…,xn对新变量r1,r2,…,rn连续可微,则因变量(u1,u2,…,un)对新变量(r1,r2,…,rn)连续可微,并且
9、 雅克比
10、 这可以用行列式的乘法法则和偏导数的链式法则直接验证。公式(3)也类似于导数的链式法则。偏导数的链式法则也有类似的公式;例如,当(U,V)对(X,Y,Z)连续可微且(X,Y,Z)对(R,S)连续可微时,有
11、 如果(3)中的R可以返回到U,那么
12、 (3)
13、 给。
14、 肯定有
15、 (4)
16、 因此,(dx1,dx2,…,dxn)可以在具有该系数行列式的联立线性方程组(2)中作为(du1,du2,…,dun)的函数来求解。根据隐函数存在定理,在(u1,u2,…,un)对(x1,x2,…,xn)连续可微的前提下,只有条件(4)足以保证(x1,x2,…,xn)也对(u1,u2,…,un)连续可微,所以(4)必须成立。这样,在雅可比行列式不等于零的条件(4)下,连续可微函数集(1)建立了起点与每对对应点u=(u1,u2,…,un)和x=(x1,x2,…,xn)的相邻范围内的点之间的一一对应关系。
17、 在n=2的情况下,以x1,x2为邻边的矩形(R)对应平面(u1,u2)上的一个弯曲四边形(S),其面积S与x1,x2的线性主部有关,即面积微分为
18、 这在多重积分的计算中经常用到。
19、 如果在一个连通区域内,雅可比行列式处处不为零,则处处为正或负(其符号表示u坐标系与x坐标系的旋转方向是否一致)。如果雅可比行列式等于零,则函数组(U1,U2,UN)是函数相关的,其中至少一个函数是其他函数的连续可微的。
20、 列坐标转换。
21、 如图所示。
22、 球面坐标变换。
23、 如图所示。
24、 问题解决过程如图所示。
这篇文章到此就结束,希望能帮助到大家。
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