综合除法(高等代数综合除法)
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1、綜合除法:除式為一次式的快速除法 *先處理除式為(x-c)型,例如(x4+x3-4x2-x+3)÷(x-1),完整的算式為: (原式列) 1 1 -4 -1 3 1 (除式的根) (計算列) 1 2 -2 -3 (結果列) 1 2 -2 -3 , 0 (商) (餘 數) 作法:先將被除式f(x)的係數分離出來,缺項要補0,最右方放置除式(x-c)的根c (1)將最高次項係數1直接放到結果列第一位。
2、 (2)將它乘上除式的根1,得到1放在右上計算列位置。
3、 (3)將原式列與計算列相加得2,放在結果列。
4、 (4)每算出一個結果,就拿去乘上除式的根1,放在右上計算列位置,將原式列與計算列相加放在結果列,直到最後一位加完。
5、 結果列最後一個數是餘數,也是被除式代入除式根的值f(c),其前方就是商的係數 被除式係數與除式根之間會作一個區隔記號,餘數與商之間也會,避免混淆 *再來處理除式為(ax-b),例如(2x3+3x2-x-1)÷(2x+1) 一個重要的定理:f(x)÷(ax-b)的商是f(x)÷(x- )的商的 ,而餘數則相同 所謂f(x)÷g(x)=q(x)…餘r(x),就是f(x)=g(x)q(x)+r(x) (被除式=除式×商式+餘式) 因此如果f(x)÷(ax-b)=q(x)…餘r,表示f(x)=(ax-b)q(x)+r 將a提出乘給q(x)得f(x)=(x- )[aq(x)]+r,即f(x)÷(x- )=aq(x)…r 也就是說,如果把除式由(ax-b)換成(x- ),商變a倍,而餘數不變,因此÷(ax-b)的商是÷(x- )的 ,而餘數則相同 利用這個定理,(2x3+3x2-x-1)÷(2x+1)就可以用2x3+3x2-x-1)÷(x+ )來算(這樣可以用綜合除法),再將商除以2: 2 3 -1 -1 - -1 -2 1 (除以2) 2 2 -2 , 0 1 1 -1 真正的商 *連續使用綜合除法 前面的例子中提到x4+x3-4x2-x+3=0有因式x-1和x+1,其實是兩次特定根檢驗的結果,理論上每檢驗出一個根就表是有一個一次因式,就可以除掉以降低次數。
6、因此發現x-1就可以除,發現x+1時再除,綜合除法可以連續除: 1 1 -4 -1 3 1 1 2 -2 -3 1 2 -2 -3 , 0 -1 -1 -1 3 1 1 -3 , 0 回到解2x4+x3-21x2-2x+6=0的問題上,前面說它有12個可能的有理根-2、-2、3、-3、6、-6、 、- 、 、- ,因為常數項不為0、係數和不為0、奇偶次項係數和也不一樣,所以-1都不是根。
7、剩下的用綜合除法檢驗。
8、 2: 2 1 -21 -2 6 2 4 10 -22 -48 2 5 -11 -24 ,-42 ≠ 0 所以2不是根 -2: 2 1 -21 -2 6 -2 -4 6 30 -56 2 -3 -15 28 ,-50 ≠ 0 所以-2不是根 3: 2 1 -21 -2 6 3 6 21 0 -6 2 7 0 -2 , 0 所以3是根 這個結果顯示2x4+x3-21x2-2x+6=(x-3)(2x3+7x2-2),剩下的根都在2x3+7x2-2中,這個時候我們只需要針對2x3+7x2-2找根即可。
9、 注意到2x3+7x2-2的最高次項係數是2,常數項也是2,因此它的有理根只可能是-2、-2、 、- 六個。
10、原來的12個因為提出因式x-3改變了係數而變少了。
11、 再注意到-2、-2四個可能有理根在之前檢驗時已經排除,因此此時只需要檢驗剩下的 、- 即可。
12、 我們可以在剛剛的算式下接著作(當然也可以獨立作): 3: 2 1 -21 -2 6 3 6 21 0 -6 : 2 7 0 -2 , 0 1 4 2 (÷2) 2 8 4 , 0 所以 是根 1 4 2 上式顯示2x4+x3-21x2-2x+6=(x-3)(x- )(2x2+8x+4),如果把商再除以2,可以得到2x4+x3-21x2-2x+6=(x-3)(2x-1)(x2+4x+2),而剩下的根就在x2+4x+2中,也就是 ,化簡後( )為-2± 。
13、 因此整個方程式的根為3, , -2±。
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